《莊子·天下》里有一句名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是說，一尺長(zhǎng)的木頭，今天砍一半，明天砍一半的一半，依次每天這樣砍下去，永遠(yuǎn)都砍不完。

有人愛較真：“你怎么取？你有那么小的刀嗎！”

有人講科學(xué)：“物質(zhì)并非無限可分割，小于普朗克長(zhǎng)度是不可能的。”

其實(shí)這本身就是一句抬杠的話，是公孫龍等一干辯士懟惠施來的。

惠施說：“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一。無厚，不可積也，其大千里......”然后得意地向天下學(xué)人推銷他的理論。可惜這個(gè)理論太超前了，超前到大家覺得惠施就是個(gè)神經(jīng)病，“一尺之棰”論就是用來調(diào)侃他的。連自詡“介于有用與無用之間”的莊周，在圍觀了他們的辯論后，也認(rèn)為“由天地之道觀惠施之能，其猶一蚊一虻之勞者也。其于物也何庸！”說惠施白瞎了那么高的智商，天天整些個(gè)沒用的。

“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”，說的是無窮大和無窮小；“無厚，不可積也，其大千里”，恰好應(yīng)合了積分原理。惠施為天下學(xué)人送來了奔向微積分的馬車，結(jié)果眾人合力把路封了。

顯然古人沒有對(duì)微觀世界的認(rèn)知，公孫龍本著實(shí)證精神提出的這一命題，他自己當(dāng)然是不相信的。但將極限思想引入這一命題后，卻成為一句看似無比正確的話。不過這里面藏著兩重含義，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，不竭的是“棰”這件東西還是“取”這一動(dòng)作？

拋開量子理論和實(shí)證精神不提，我們還得從數(shù)學(xué)的角度切入這個(gè)話題，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”可以把它轉(zhuǎn)化成這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

上述1/2、1/4、1/8......1/2^n...是個(gè)等比數(shù)列，它的項(xiàng)數(shù)有無窮多個(gè)，是謂“取之不竭”，而當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，1/2^n趨近于無窮小，無窮小不等于零，則謂其“棰尚未竭”。說它萬世不竭還真沒毛病！

但里面有個(gè)大問題，“萬世不竭”里的“萬世”并不是個(gè)時(shí)間概念，我們不能以此構(gòu)建與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)表達(dá)式。啥意思呢？公孫龍所說的”日取一半“，是個(gè)動(dòng)作概念，與時(shí)間無關(guān)，這相當(dāng)于把上面的等比數(shù)列無窮多的項(xiàng)數(shù)從頭數(shù)到尾一個(gè)一個(gè)數(shù)，這誰數(shù)得完？“萬世不竭”可以證明的只是“取萬萬次而不竭”，至于“棰”竭沒竭，還是不能輕易下結(jié)論的。

同樣的故事，古希臘的同行們也講過。芝諾二分法悖論：“一個(gè)人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循環(huán)下去，永遠(yuǎn)不能到終點(diǎn)。”

“日取一半”對(duì)應(yīng)“走完剩下總路程的1/2”，“萬世不竭”對(duì)應(yīng)“永遠(yuǎn)不能到終點(diǎn)”，看著眼熟吧？意思大體相同，但有個(gè)關(guān)鍵的不同：在芝諾那里我們可以給定這個(gè)人的一個(gè)速度v。

如果是算路程，芝諾二分法悖論可以轉(zhuǎn)化成這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

盡管我們可以證明這個(gè)等比數(shù)列之和的極限為零：

但多出來的那個(gè)無窮小，還是少了些說服力，畢竟無窮小不是零，它的極限才是。

我們換個(gè)思路，不是說永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)嗎？我們來求它的時(shí)間好了：

路程還差一個(gè)無窮小的時(shí)候，所用時(shí)間離1/v也差著一個(gè)無窮小呢！說好的永遠(yuǎn)呢？

我們不妨把芝諾二分法悖論倒過來講，在不到1/v的時(shí)間里，“走完剩下總路程的1/2”這件事發(fā)生了無窮多次。相比起來，公孫龍的“日取其半”還真有點(diǎn)耍流氓的意思。

學(xué)習(xí)過極限運(yùn)算，我們會(huì)知道無窮小和無窮大的乘積，可以是常數(shù)，可以是無窮大，也可以是無窮小。“一尺之棰”是個(gè)常數(shù)，只要公孫龍不耍賴，它會(huì)被取完的，而且不用萬世。