用概率戰(zhàn)勝你的親朋好友吧。

撰文|比鄰星

春節(jié)要玩好，獨(dú)樂(lè)樂(lè)不如眾樂(lè)樂(lè)。

如果要選擇一種聲音代表新春佳節(jié)的團(tuán)聚，除了噼里啪啦的鞭炮、杯盞相碰的清脆，一句“三缺一”和麻將桌上嘩啦啦的搓麻聲必定占有一席之地。

麻將在不同段位的玩家眼中代表著不同維度的世界。入門(mén)級(jí)小白只專注于面前的牌，久經(jīng)沙場(chǎng)的老手更有大局觀，心中裝著整個(gè)牌桌的乾坤。而在一名理科生眼中，麻將是一場(chǎng)概率游戲和策略博弈。

19世紀(jì)的麻將牌長(zhǎng)這樣丨圖源：Wiki

還真有數(shù)學(xué)家發(fā)表了關(guān)于“麻將數(shù)學(xué)”的研究論文，不僅編寫(xiě)程序計(jì)算胡牌的概率，更是致力于開(kāi)發(fā)AI打麻將的技能。當(dāng)然，機(jī)器人怎么打麻將倒是后話了，對(duì)于各位玩家而言，這些研究最大的價(jià)值在于能給麻將桌上的牌局以“***”的理論指導(dǎo)。

故事還要從清一色講起。

先補(bǔ)充點(diǎn)背景知識(shí)。標(biāo)準(zhǔn)麻將牌包含“筒”、“條”、“萬(wàn)”、“風(fēng)”和“箭”五套花色，每種牌有4張是相同的。4名玩家初始摸得13張牌，之后按照逆時(shí)針摸一張牌再打出一張牌，直到他摸到最后一張牌，14張牌可以湊成23333的排列組合，即為胡牌。

從上到下分別為“筒”、“條”、“萬(wàn)”丨圖源：Wiki

用公式表示就是

m*AAA+n*ABC+DDm，n可以為0

如果最終胡牌的牌面為同一花色，就叫清一色。

一個(gè)叫李志光的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種有趣的牌形。

好牌丨圖源：Mathematicalaspectsofthecombinatorialgame“Mahjong”

仔細(xì)看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)下一張只要摸到的也是筒，不管是一筒到九筒中的哪一張，都可以胡牌。這牌，只要一推倒，眾人定有不明覺(jué)厲之感。

這樣的牌形叫“九門(mén)”（NineGate），李志光隨后聯(lián)想到，類(lèi)似的“八門(mén)”、“七門(mén)”、“六門(mén)”……都有什么樣的牌形，哪種出現(xiàn)的概率更高？

至此開(kāi)始，一個(gè)娛樂(lè)問(wèn)題成功上升為科研課題，行話叫“k門(mén)問(wèn)題”。

用數(shù)學(xué)符號(hào)代表剛才的牌形，那就是

計(jì)算概率，大體的思路就是嘗試所有Xi的組合，然后檢驗(yàn)每種組合是否符合k門(mén)的要求。這樣的重復(fù)性運(yùn)算，交給Python程序就夠了。

一段源代碼截圖網(wǎng)址鏈接：

https://cklixx.people.wm.edu/mathlib/Mahjong.py

結(jié)果是這樣的。“九門(mén)”的組合有且僅有一種，它出現(xiàn)的概率為0.000113；八門(mén)有16種；一門(mén)的組合則有14067種，出現(xiàn)的概率是0.148。

k門(mén)問(wèn)題只是個(gè)開(kāi)始，發(fā)現(xiàn)能用數(shù)學(xué)***研究麻將，另一個(gè)團(tuán)隊(duì)也躍躍欲試。他們關(guān)注到的問(wèn)題是——如何判斷距離胡牌還差幾張牌？研究結(jié)果整理為論文《來(lái)玩麻將啊！》（Let’splayMahjong!）

都是科研論文，這篇的畫(huà)風(fēng)就很可愛(ài)

這個(gè)問(wèn)題很實(shí)用了，理解了其中奧義，你也能擁有牌局的大局觀。來(lái)看看他們是怎么算的。

首先需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義每一種牌形。他們選擇了一對(duì)數(shù)字（c,n），c表示花色，0為條、1為萬(wàn)，2為筒；n表示具體的數(shù)字。比如（0,3）就是三條，（1,5）就是五萬(wàn)。

（2,7）和（2,5）圖源：flicker

接下來(lái)設(shè)置一段數(shù)列V，即14個(gè)（c，n）的***，用來(lái)表示完整的牌面。這時(shí)你就可以用邏輯語(yǔ)言定義出胡牌（complete）的條件。

最后一步是設(shè)計(jì)一個(gè)變量，定量地表示牌面的好壞。研究者引入了“缺牌數(shù)”的定義，也就是距離運(yùn)算到胡牌狀態(tài)，還差幾張牌。

接下來(lái)的運(yùn)算結(jié)果請(qǐng)收好，這是一份科學(xué)的打牌秘籍。

5個(gè)對(duì)子+一個(gè)杠；

5個(gè)對(duì)子+1個(gè)刻子+1張單牌

2.如果你的牌面是以下3種情況之一，那么缺牌數(shù)小于等于5

兩個(gè)不連續(xù)的“3連”（包括刻子和順子）；

一個(gè)“3連”和一個(gè)“準(zhǔn)3連”（只需要碰一下或者吃一個(gè)就能湊出刻子或順子）；

4個(gè)“準(zhǔn)3連”

面對(duì)具體的牌面時(shí)，置換麻將牌的方案不止一種，此時(shí)需綜合考慮缺牌數(shù)和胡牌成本，以及方案的可行性。

舉個(gè)栗子，如果你的牌面是這樣的，那么你可以考慮3種搭配方案

先把牌碼上，看起來(lái)順眼一些。

第一種方案里，“準(zhǔn)3連”B1B3還差一張B2（二條），但是整副牌中已經(jīng)沒(méi)有多余的二條，因此這種方案無(wú)效。方案二和方案三都是可行的，但是方案三的缺牌數(shù)更小，所以更優(yōu)。

作為中國(guó)的經(jīng)典傳統(tǒng)游戲，麻將的玩家覆蓋率在整個(gè)游戲江湖遙遙領(lǐng)先。不同地區(qū)有不同的打法。幾分技巧、幾分運(yùn)氣，還有好幾分的樂(lè)趣。這種獨(dú)特的牌類(lèi)游戲也慢慢漂洋過(guò)海，傳入了包括歐美國(guó)家在內(nèi)的世界許多地方。還有研究證實(shí)，麻將的益智作用有益于阿爾茨海默病患者。

美國(guó)的娃們?cè)谡n外活動(dòng)課上學(xué)習(xí)打麻將丨圖源：Wiki

當(dāng)然，***的科學(xué)家費(fèi)勁編寫(xiě)程序來(lái)還原麻將的游戲規(guī)則，初衷倒不是為各位玩家搞一套打牌指南，而是為了開(kāi)發(fā)人工智能。畢竟圍棋高手阿爾法狗和阿爾法零相繼橫空出世，麻將高手機(jī)器人也指日可待。

問(wèn)：圖中有幾個(gè)人在打麻將？丨圖源：unsplash

各位麻將高手，你期待和機(jī)器人PK的那天嗎？

寫(xiě)完此文，考慮到實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，小編鄰座的小哥默默把家里的麻將牌拿到了公司。

參考資料

1.YuanCheng,Chi-KwongLi,andSharonH.Li.Mathematicalaspectofthecombinatorialgame“Mahjong”.ArXiv:1707.07345,2017.

2.SanjiangLi,XueqingYan.Let’sPlayMahjong!arXiv:1903.03294v1

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